Peluang

Peluang atau dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau telah terjadi. Konsep peluang matematika telah dirumuskan dengan lebih ketat dalam matematika, dan kemudian digunakan secara lebih luas tidak hanya dalam matematika atau statistika, tetapi juga keuangan, sains dan filsafat.

Konsep peluang matematika ini dapat kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Semua pasti pernah melihat mata uang logam atau koin kan? Mata uang logam tersebut terdiri dari dua buah sisi. Kita misalkan sisi pertama adalah angka, sedangkan sisi kedua adalah gambar. Jika uang logam tersebut kita lemparkan ke atas sebanyak satu kali. Berapa peluang munculnya angka? Sedangkan jika kita lempar sebanyak 2 kali 3 kali bahkan 10 kali berapa peluang munculnya angka? Konsep yang demikian dinamakan peluang. Untuk mengetahui lebih lanjut mari kita pelajari bersama-sama materi peluang matematika, rumus peluang dan beberapa contoh soal beserta penyelesaiannya.

Pengertian peluang

Peluang dapat diartikan sebagai sebuah cara yang dilakukan untuk mengetahui kemungkinan terjadinya sebuah peristiwa. Dalam setiap permasalahan ada ketidakpastian yang disebabkan suatu tindakan yang kadang-kadang berakibat lain. Misalnya contoh tadi yaitu sebuah mata uang logam yang dilemparkan ke atas akibatnya dapat muncul sisi gambar (G) atau sisi angka (A), maka sisi yang akan muncul tidak dapat dikatakan secara pasti.

Akibat melemparkan sebuah mata uang logam ada salah satu dari dua kejadian yang dapat terjadi yaitu munculnya sisi G atau A. Kegiatan melemparkan mata uang logam tersebut dinamakan suatu tindakan acak. Tindakan itu dapat diulang beberapa kali dan rangkaian tindakan tersebut dinamakan percobaan. Tindakan satu kali juga dapat disebut suatu percobaan.

Rumus Peluang Matematika

Percobaan melemparkan mata uang logam hasilnya adalah G atau A. Apabila percobaan dilempar 10 kali dan muncul G 4 kali maka frekuensi relatif munculnya G adalah 4/10. Jika percobaan dilakukan 10 kali lagi dan muncul G 3 kali sehingga dalam 20 kali percobaam G muncul sebanyak 7 kali maka frekuensi relatif muncul G pada 20 percobaan adalah 7/20.

Frekuensi Relatif

Frekuensi merupakan perbandingan antara banyaknya percobaan yang dilakukan dengan banyaknya kejadian yang diamati. Dari Percobaan melemparkan mata uang logam tadi maka frekuensi relatif dirumuskan sebagai berikut :

Contoh lagi
Pada percobaan melempar mata uang logam sebanyak 100 kali ternyata muncul permukaan gambar sebanyak 30 kali

Frekuensi relatif muncul gambar = 30/100 = 3/10

Peluang

Contoh
Pada percobaan mengetos atau melempar undi sebuah mata uang logam maka

Peluang muncul angka = 1/2

1 adalah banyak permukaan angka pada mata uang
2 adalah adanya dua kemungkinan yaitu muncul angka atau gambar

Ruang Sampel 

Ruang sampel merupakan himpunan dari semua kejadian (hasil) percobaan yang mungkin terjadi. Ruang sampel dilambangkan dengan S.

Contoh
a. Ruang sampel pada pengetosan sebuah dadu adalah S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
b. Ruang sampel pada pengetosan sebuah mata uang logam adalah S = (A, G)

Menentukan Ruang Sampel

Ruang sampel hasil dari melempar dua mata uang dapat ditentukan dengan menggunakan tabel (daftar) seperti berikut.

Ruang sampelnya adalah S = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}
Kejadian A1 yang memuat dua gambar = (G,G)
Kejadian A2 yang tidak memuat gambar = (A,A)

Titik Sampel

Titik sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel

Contoh
Ruang sampel S =  ((A,A), (A,G), (G,A), (G,G))
Titik sampelnya adalah  ((A,A), (A,G), (G,A), (G,G))

Peluang Kejadian A atau P(A)

Peluang kejadian dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut.
S = {1,2,3,4,5,6} maka nilai n(S) = 6
A = {2,3,5} maka n(A) = 3

Uraian tersebut menjelaskan bahwa jika setiap titik sampel dari anggota ruang sampel S memiliki peluang yang sama, maka peluang kejadian A yang jumlah anggotanya dinyatakan dalam n(A) dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut.

Nilai Peluang

Nilai-nilai peluang yang diperoleh berkisar antara 0 sampai dengan 1. Untuk setiap kejadian A, batas-batas nilai P(A) secara matematis ditulis sebagai berikut.

0 ≤ P (A)  ≤ 1 dengan P(A) adalah peluang suatu kejadian A

Jika P(A) = 0, maka kejadian A adalah kejadian mustahil, maka peluangnya adalah 0
Contoh :
Matahari terbit di sebelah selatan adalah kejadian mustahil, maka peluangnya = 0

Jika P(A) = 1, maka kejadian A adalah kejadian pasti
Contoh :
Makhluk yang bernyawa pasti mati adalah kejadian pasti, maka peluangnya = 1

Ada juga peluang kejadian yang bernilai antara 0 dan 1, berarti kejadian tersebut mungkin terjadi. Misalnya peluang seorang murid menjadi juara kelas. Jika L merupakan kejadian komplemen dari kejadian A maka peluang kejadian L adalah 1- peluang kejadian A. Secara matematis ditulis.

P (L)  = 1 - P(A) atau P(L) + P(A) = 1

Contoh :
Jika peluang turun hujan pada hari ini = 0,6 maka
Peluang tidak turun hujan pada hari ini = 1 - P (hujan)
                                                               = 1 - 0,6
                                                              = 0,4

Frekuensi Harapan

frekuensi harapan suatu kejadian adalah harapan banyaknya muncul suatu kejadian dari sejumlah percobaan yang dilakukan. Secara matematis ditulis sebagai berikut

Frekuensi harapan = P(A) x banyak percobaan

Contoh :
Pada percobaan mengetos sebuah dadu sebanyak 60 kali, maka :
Peluang muncul mata 2 = 1/6
Frekuensi harapan muncul mata 2 = P (mata 2) x banyak percoban
                                                       = 1/6 x 60
                                                       = 10 kali

Contoh Soal Peluang

Untuk memantapkan pemahaman materi peluang matematika, simak beberapa contoh soal beserta penyelesaiannya berikut ini.

Contoh Soal Peluang 1
Pada percobaan melempar sebuah mata uang logam sebanyak 120 kali, ternyata muncul angka sebanyak 50 kali. Tentukan frekuensi relatif muncul angka dan frekuensi relatif muncul gambar!

Penyelesaian
Frekuensi relatif muncul angka = Banyak angka yang muncul/Banyak percobaan
                                                  = 50/120
                                                  = 5/12

Frekuensi relatif muncul gambar = Banyak gambar yang muncul/Banyak percobaan
                                                     = (120 - 50) / 120
                                                     = 70/120
                                                     = 7/12

Contoh Soal Peluang 2
Sebuah huruf dipilih secara acak dari huruf-huruf pada tulisan " JURAGAN". Tentukan peluang terpilihnya huruf A!

Penyelesaian
Banyak kejadian yang dimaksud = 2 karena huruf A ada 2
Banyak kejadian yang mungkin = 7 karena jumlah huruf ada 7
Jadi P (huruf A) = 2/7

Contoh Soal Peluang 3
Dua buah dadu ditos bersama-sama. Tentukan peluang kejadian berikut ini !
a. Muncul dadu pertama bermata 4
b. Muncul mata dadu berjumlah 9

Penyelesaian
Kita buat ruang sampel percobaan mengetos dua dadu seperti berikut.

a. dadu pertama bermata 4, berarti dadu kedua boleh jadi bermata 1,2,3,4,5, atau 6. Dengan demikian, kejadian muncul dadu pertama bermata 4 adalah :
M = {(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)}
Jadi, P (dadu I bermata 4) = n(M)/n(S) = 6/36 = 1/6

b. Kejadian muncul mata dadu berjumlah 9 adalah :
N = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)}
Jadi, P (jumlah 9) = n(N)/n(S) = 4/36 = 1/9